Геометрия 8 класс все правила и теоремы и доказательства

Геометрия 8 класс все правила и теоремы и доказательства

Трапеция

Равнобедренная трапеция

Прямоугольная трапеция

☑ 6. Прямоугольник☑ 7. Ромб☑ 8. Квадрат☑ 9. Теорема Чевы☑ 10. Теорема Менедая☑ 11. Теорема синусов☑ 12. Теорема косинусов☑ 13.

Площадь треугольника☑ 14. Площадь многоугольников☑ 15. Равносторонний (правильный) треугольник☑ 16. Подобные треугольники☑ 17. Признаки подобия треугольников☑ 18.

Окружность

Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной ее точки (центра) (рис. 37).

• Угол с вершиной в центре окружности называется её центральным углом.
• Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается.
• Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360°.
• Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.
• (Т.) Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
• Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
• Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой.
• (Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд) Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
• Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.

Внимание

Отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности, называется радиусом. Обозначение: г или R. На рисунке ОС = ОЕ = OD = R. Часть окружности (например, CmD) называется дугой.

Важно

Обозначение: d или D. D = 2R. Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом. Часть круга, ограниченная дугой (CmD) и стягивающей ее хордой (CD), называется сегментом.

Часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой, называется сектором. Угол, образованный двумя радиусами, называется центральным (∠COD на рис.
37). Угол, у которого вершина лежит на окружности, а стороны являются хордами, называется вписанным (например, ∠ABC).☑ 19.

Геометрия 8 класс все правила и теоремы и доказательства по геометрии

«

Краткий курс геометрии 8 класс»

«Краткий курс геометрии 8 класс» — это краткие теоретические сведения по курсу геометрии за 8 класс (определения, теоремы, основные свойства). Цитаты взяты в учебных целях из пособия «Геометрия: задачи на готовых чертежах для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ (базовый уровень): 8 класс / Э.Н.Бабаян.

— Ростов н/Д: Феникс.

Планиметрия

☑ 1.Многоугольник

ABCDE — пятиугольник (рис. 11). Точки А, В, С, D, Е — вершины многоугольника; ∠A, ∠B, ∠C, ∠D, ∠E — углы; АВ, ВС, CD и т.
д.

— стороны; отрезки АС, AD, BE, BD, СЕ — диагонали; Р = АВ + ВС + … + ЕА — периметр многоугольника. Многоугольник называется выпуклым (см. рис.

11), если он целиком расположен по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
В противном случае многоугольник называется невыпуклым (рис. 12).

Геометрия 8 класс все правила и теоремы и доказательства в гражданском процессе

диагональю многоугольника.

• Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
• Сумма углов выпуклого n-угольника равна (n–2)·180°.
• Четырёхугольник – это многоугольник у которого четыре вершины и четыре стороны.
• Две несмежные стороны четырёхугольника называются противоположными.
• Две вершины, не являющиеся соседними, называются противоположными.
• Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°.
• Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
• (Свойства параллелограмма) В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

R, равна а = 2R sin(180°/n). 7. Длина стороны правильного n-угольника, описанного около окружности радиуса r, равна а = 2r tg(180°/n).☑ 3. Четырехугольник☑ 4. Параллелограмм

Признаки параллелограмма (рис. 48)

1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны (АВ = DC, АВ || CD), то такой четырехугольник — параллелограмм.
2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны (АВ = DC, AD = DC), то такой четырехугольник — параллелограмм.
3. Если в четырехугольнике противоположные углы попарно равны (∠A = ∠C; ∠B = ∠D), то такой четырехугольник — параллелограмм.
4. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник — параллелограмм.

☑ 5.
Перпендикуляр

Признаки и свойства параллельных прямых, теоремы о единственности восстановленного и опущенного перпендикуляров, об углах с соответственно параллельными сторонами, о двух прямых параллельных третьей и о двух перпендикулярах к одной прямой.

Уроков: 9.

Признаки подобия треугольников

Формулировка и доказательство трех признаков подобия треугольников. Лемма о прямой, параллельной стороне треугольника. Геометрические построения циркулем и линейкой.

Уроков: 6.

Свойства выпуклых многоугольников.
Параллелограмм, прямоугольник, квадрат, ромб

Теорема о сумме внутренних и внешних углов выпуклого многоугольника. Доказательства признаков и свойств параллелограмма, прямоугольника, ромба и квадрата.

Фалеса и Пифагора.

Также вживую перед камерой выполнены построения циркулем и линейкой: построение отрезка равного данному, угла равного данному, биссектрисы угла, середины отрезка, перпендикуляра к прямой, касательной к окружности, треугольников по трём элементам, среднего, третьего и четвёртого пропорционального, деление отрезка на равные части.

Чтобы учащиеся могли на практике проверить полученные знания, мы снабжаем видеоуроки текстовыми и иллюстрированными тестами, содержащими вопросы по теме урока.

Начальные геометрические сведения

Базовые понятия геометрии — аксиома, теорема, прямая, отрезок, луч, угол и виды углов, треугольник и виды треугольников, медиана, биссектриса, высота, окружность, радиус, диаметр, четырехугольник, параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и трапеция.

Уроков: 10.

Свойства треугольника

Равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

8.6.Теорема (признак касательной). Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

8.7.Теорема (о касательной и секущей). Если из точки М, лежащей вне окружности, проведены касательная МС и секущая МВ, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть

, где А и В-точки пересечения с окружностью секущей соответственно, считая от М.

8.8. Если дуга АВ окружности с центром О меньше полуокружности или является полуокружностью, то её градусная мера считается равной градусной мере центрального угла АОВ.

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

• (Признак параллелограмма) Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
• (Признак параллелограмма) Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
• (Признак параллелограмма) Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
• Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Возможно Вас так же заинтересует:

Источник: http://faktorion.ru/geometriya-8-klass-vse-pravila-i-teoremy-i-dokazatelstva

Конспект

«Краткий курс геометрии 8 класс» — это краткие теоретические сведения по курсу геометрии за 8 класс (определения, теоремы, основные свойства). Цитаты взяты в учебных целях из пособия «Геометрия: задачи на готовых чертежах для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ (базовый уровень): 8 класс / Э.Н.Бабаян. — Ростов н/Д: Феникс.

ABCDE — пятиугольник (рис. 11). Точки А, В, С, D, Е — вершины многоугольника; ∠A, ∠B, ∠C, ∠D, ∠E — углы; АВ, ВС, CD и т. д. — стороны; отрезки АС, AD, BE, BD, СЕ — диагонали; Р = АВ + ВС + … + ЕА — периметр многоугольника.Многоугольник называется выпуклым (см. рис.

11), если он целиком расположен по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. В противном случае многоугольник называется невыпуклым (рис. 12).
Свойства1. Сумма внутренних углов произвольного n-угольника равна 180° • (n — 2).2.

Сумма внешних углов выпуклого n-угольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.3. В выпуклом n-угольнике из каждой вершины можно провести (n — 3) диагоналей, которые разбивают n-угольник на (n — 2) треугольников.

4.

В выпуклом n-угольнике число диагоналей равно n(n — 3)/2.

☑  2. Правильные многоугольники

Выпуклый многоугольник, у которого равны все углы и стороны, называется правильным.
Свойства
1. Каждый угол правильного n-угольника равен аn = 180°(n — 2)/n2. Около правильного n-угольника можно описать окружность, и притом только одну.3. В правильный n-угольник можно вписать окружность, и притом только одну.4.

Окружность, вписанная в правильный n-угольник, касается всех сторон n-угольника в их серединах.5. Центр окружности, описанной около правильного n-угольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же n-угольник.6. Длина стороны правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса R, равна а = 2R sin(180°/n).

7.

Длина стороны правильного n-угольника, описанного около окружности радиуса r, равна а = 2r tg(180°/n).

☑ 4. Параллелограмм

Признаки параллелограмма (рис. 48)

1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны (АВ = DC, АВ || CD), то такой четырехугольник — параллелограмм.
2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны (АВ = DC, AD = DC), то такой четырехугольник — параллелограмм.
3. Если в четырехугольнике противоположные углы попарно равны (∠A = ∠C; ∠B = ∠D), то такой четырехугольник — параллелограмм.
4. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник — параллелограмм.

☑ 5. Трапеция

Равнобедренная трапеция

Прямоугольная трапеция

☑ 18. Окружность

Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной ее точки (центра) (рис. 37).Отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности, называется радиусом. Обозначение: г или R.На рисунке ОС = ОЕ = OD = R.Часть окружности (например, CmD) называется дугой.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой, а хорда, проходящая через центр, — диаметром.АВ, ВС, CD и СЕ — хорды окружности. СЕ — наибольшая из хорд — диаметр.Обозначение: d или D. D = 2R.Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.

Часть круга, ограниченная дугой (CmD) и стягивающей ее хордой (CD), называется сегментом.Часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой, называется сектором.Угол, образованный двумя радиусами, называется центральным (∠COD на рис. 37).

Угол, у которого вершина лежит на окружности, а стороны являются хордами, называется вписанным (например, ∠ABC).

☑  19. Свойства касательных к окружности

Угол, образованный двумя касательными (СА и СВ), исходящими из одной точки, называется описанным (∠ACB на рис. 38).1. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.2. Две касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны, и центр окружности лежит на биссектрисе угла между ними.

☑  20. Окружность и треугольник

1. Около всякого треугольника можно описать окружность; центром окружности является точка пересечения перпендикуляров, проведенных к сторонам через их середины (рис. 39).
2. Во всякий треугольник можно вписать окружность; центром окружности является точка пересечения биссектрис (рис. 40).

☑ 25. Уравнение окружности

Вы смотрели «Краткий курс геометрии 8 класс» — все определения, теоремы и основные свойства из Геометрии за 8 класс. Выберите дальнейшие действия:

Источник: https://uchitel.pro/%D0%BA%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%B8%D0%B9-%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81-%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B8-8-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81/